虚数单位的对数

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虚数单位 i 的对数是乘法函数

这里的自然对数被写成 log。

虚数单位是一个复数。一个复数 w 被称为 z 的对数，所以 w = log z，如果 e^w = z。

人们说到对数，是因为对于 z 来说，有无限多的数字 w 可以充当对数。它们的差别是 2πi 的整数倍。这是因为 e^2kπ i = 1。我们把 z 写成

z = r · e^iφ

绝对值为 r，参数为 φ，则每个数字

是 z 的对数。通常定义参数 φ，使 –π < φ ≤ π。k = 0 的对数值称为对数的主值。

因此，z = i 位于半径为 r = 1 的单位圆和旋转 φ = ½π 的四分之一圆上。因此，i 的对数的主值为

log (i) = log (1) + ½πi = ½πi